大きな数小さな数の雑学を集めました

専門的でない雑学レベルで、大きな数、小さな数について取り上げてみます。

小学生に「一番大きな数は?」と聞くと、私の時代は「百億万円」だった(古い!)のですが、今は「無量大数」と答える・・・という記事を読んだことがあります。

大人の私でも「無量大数」がどれくらい大きいのか、説明できないのですが、このような数の単位については、言葉は知っていても、曖昧にしか覚えていないのが普通ですので、大人の雑学知識になるようにまとめてみました。

大きな数

東洋と西洋の文化の違いで混乱させられている

コンピュータのメモリ容量などでは、K・M・G・T・P・E・Z・Y という表現があります。キロ・メガ・ギガ・・・ですね。これは国際単位系(SI単位系)の接頭辞(接頭語)で、kilo mega giga tera peta exa zetta yotta を表しています。

1ギガといえば、Windows98時代には非常に大きな数のように感じがしていたのですが、最近は「テラ」という容量のHDD(ハードディスク)が一般的になってきました。これも、さらに大きい数になっていきそうな気配ですが、この「テラ」でも非常に大きな数です。



大きな数は「10の何乗」で表します

物理の世界では、一般的には、「10の何乗」という言い方をします。 1キロメーター(km)は10の3乗(103)メーター、つまり1,000mで、次の接頭辞のメガは10の6乗(106)で、「乗」は 1,000,000 と、「ゼロの数」をあらわすのですが、これを日本の数字で言おうとすると少し混乱が生じ始めます。

日本の数字表記では1キロ=1000,1メガ=100万(1,000,000)と、ここまでは、慣れもあって頭が混乱しないのですが、次からが大変で、1ギガ=10億 で、1テラ=1兆、1ペタ=1000兆、1エクサ=100京となって、4桁ずつ進んでいる日本の桁上りとは違うので、だんだん分からなくなってきます。

日本と欧米の数の桁上り

この、最後に書いた「じょ」は、のぎへん(禾)に予と書くのですが、これは、普通では文字変換できない「国字(和製漢字)」で、それらの国字も、JISでは決められているので、コード入力(&#153457)で表示させることは出来るものの、ブラウザの状態によっては、うまく表示されていないかもしれない、ほとんど使わない文字だと言ってもいいのでしょう。(そのためにここでは、ひらがなにしました)

英語表記では1kiro=1thousand(サウザンド)、1mega=1million(ミリオン)、1giga=1trillion(トリリオン)というように、3ケタづつの呼び方は呼応していて、ずれることがないので分かりやすいのですが、日本の数字は4桁区切りなので、ずれていて、対比させようとすると、覚えにくくなってしまいます。



このように、欧米は103ごとに単位が変わる「文化」なので、3桁区切りでの苦労は少ないようですが、日本の文化は4ケタごとに単位が変わるので困ってしまいます。

私の場合も、小学校では最初に、桁区切りは4桁区切りで習い、6年になって「最近は3桁区切りが多くなっていて、会計では、3桁区切りになってきています」・・・と教えられたこともあって、頭の切り替えができずに困ったことを覚えています。

4桁区切りがわかりやすい。でも、今では使うとさらに混乱しそう

1,0000,0000(=100,000,000) は一億ですが、現在は4桁区切りで書く書き方は通常はしませんし、4桁区切りを見ることがありませんが、下の「5つ玉(五つ珠)」のそろばんを使っている時代には、4桁区切りが普通でした。

古いそろばん 以前のそろばん(5つ玉・4桁区切り)

今のそろばん 今のそろばん(4つ玉・3桁区切り)

私自身は上の「5つ玉のそろばん」は使ったこともなく、使い方も知りませんが、家に置いてあったのを覚えていますので、昭和の戦争の頃に日本の文化が変わってしまったようなのですが、日本人はいとも簡単に外国文化を吸収してしまう民族なので抵抗も少ないようですが、4桁文化の本家本元の「中国(China)」の人は、日本人以上に苦労しているのではないかと思います。

しかし、これは国際化の一環ですので、どうすることも出来ませんので、ともかく、「馴染む」しか方法はないのでしょう。

英国でも、米国流とは若干違う・・・というものもあるようです

電子辞書でbillionを引くと

話は脱線しますが、「billion」を電子辞書で引いていると、上のような記事がありました。

billion は10億ですが、イギリス(英国)ではそれを milliard と言うようで、昔のイギリスでは、billion は10億ではなく1兆を表していて、それが次第にアメリカ式に移っていると書いてあります。

アメリカでもヤード・ポンドが残っていますし、日本でも、坪などの単位が残っているところを見ると、どこの国でも、共通化(国際化)の過程で、いろいろな問題があったり、現在でも尾を引いているものもあるのでしょう。

大数の呼び方はあっても、普段は使うことはなさそう

大きな数

この下段に書いてあるのは「塵劫記」という書物に書かれた、一十百千万に続く、非常に大きな数の一部で 恒河沙(こうがしゃ)阿僧祇(あそうぎ) ・・・と、一十百千万・・・のずっと後に続く大きな数ですが、これらは実際に用いられることはないものの、「数(の単位)がある」ということに驚きます。

欧米の表し方も同様で、さらにもっと上の数字の言い方があって、日本では、「塵劫記」に書かれた、最も大きな数とされている「無量大数」についても、https://id.fnshr.info/2017/08/27/large-numbers/ さんのHPを見ると、「英語では、one hundred unvigintillion という・・・」と書いてあり、そうなると、「無量大数x無量大数」の答えも数としてはあるのですが、実用面では使うことはないでしょう。(もちろん、勝手に単位を命名している人はいると思いますが・・・)

すごい大きな数を実感するには、それを自分で書いてみるといい

ここで、それくらい大きいのかを感じてもらうために、SI接頭辞のyottaと無量大数のゼロの数示していますが、一度紙に書いてみると、その凄さが実感できます。

1yotta  =10000000000000000000000000

無量大数=1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

ここにある接頭語の「yotta」は1の後ろに0が24個もつく大きな数で、無量大数は1の後ろに0が68もつく数ですので、いずれも、気の遠くなるような大きな数といえます。

近年では、記憶容量(バイト数)などで目にするようになった「テラバイト」ですが、これは、1,000,000,000,000バイト という、これもすごい数ですが、これは1の後ろにゼロが12個付きます。

私の息子に「NECのPC8001は32kバイトのメモリーで、それに32kを増設して20万円で購入した・・・」と話すと、息子は「キロ?」という感じで呆れているのですが、当時はそれで結構遊べましたし、「ギガバイトの容量はすごい」と言っていたのは数年前で、今では、「テラ」に驚かなくなってきていますので、数年後には次の「ペタ」という単位を耳にするかもしれませんね。

ここからは、テラバイトなどに関係する2進数について少しだけ取り上げます。

2進数はコンピュータで一躍身近なものになりました

ここまでは10進数での話でしたが、コンピュータの世界では2進数が基本です。

そのために、 0,1,10,11,100・・・と増えていく世界では、2の10乗(1024)を1キロバイトとしています。 これはややこしいことですが、つまり、K(キロ)は1000ではないのですが、世の中はこれで動いていますので、不可解だと悩んでも仕方がありません。

つまり、「キロ」というのは、10進数では1000倍の接頭語ですが、2進数では習慣的に、2の10乗の1024が1キロバイトとして扱われるのです。

そうすると、1メガバイトが1,024,000バイト、1ギガバイトが1,024,000,000バイト、1テラバイトが1,024,000,000,000バイトですが、混乱を避けるために、一応は、2進数を表すバイナリーを後ろにつけて、「キロバイナリーバイト(略してKiBまたはKibi:キビバイト)と呼ぶように定められています。

しかし、この言い方は普及していなくて、一般的には、「メガバイト」「テラバイト」などと商品に表示されていても、断り書きはないのが普通で、現状は、メガバイトが1,024,000バイトなのか1,000,000バイトなのかがはっきりしない場合も多いようです。

そうは言っても、ほとんどの人は、「大して違わない『大きな数』」と思って、気にすることも少ないのでしょう。

さらに加えて、ややこしいのですが、「1バイト=8ビットです・・・」というと、ますます混乱するのですが、これらの内容も、適当なイメージで話していても、全く問題なく話ができますので、一般人レベルでは、それはそれでいいのかもしれませんね。

情報についての、さらに大きな数

そして、この2進数の情報関連の世界では、10進数の接頭語のyotta(10の24乗)以上の数字が、すでに決められています。 Kibi bite(記号はKiB)が210(1024バイト)ですが、それ以上の数で、

Mebi Byte(記号Mi=220
Gibi Byte(記号Gi=230
Tebi Byte(記号Ti=240
Pebi Byte(記号Pi=250
Exbi Byte(記号Ei=260
Zebi Byte(記号Zi=270
Yobi Byte記号(Yi=280

などの呼び方があるのですが、K・M・G・T・P・E・Z・Y というSI単位系の接頭辞と同じ順になっているので、違和感も少ないのでしょう。

ともかく、最も大きいYobi Byteは、280=1,208,925,819,629,174,706,176バイトという、とてつもなく大きい数字です。

しかし、このバイト数は 1024 程度の数ですので、日本の「無量大数1068」から考えると、そんなに大きいように感じないことも変な感じです。

あなたは大きな数字といえば何が思い浮かびますか

ちなみに、とてつもない大きな数字のイメージの筆頭では、宇宙の大きさや「光年」という単位が頭に浮かびます。

光が1年間に進む距離が「光年」で、30万kmx60x60x24x365≒9460800000000kmですが、この数字でも、およそ1013km≒10テラkm≒10trillionという大きさのレベルです。

もっと大きい数字といえば、測定できる宇宙の果てまでの距離は138億光年・・・と言う数字や、さらに、半径450億光年が「観測できる宇宙」とされていることから、宇宙の直径はおよそ1000億光年・・・などの数字も大きい現実数字です。

千億は1011 ですから、距離にすれば、1千億光年は、1024km(1030mm)という数字で、これが現実的に頭の中で使うことがあるかもしれない「大きな数」かもしれません。

もっとも、宇宙を記述する数字は、宇宙が広がっているし観測も進むので、どんどん大きくなっているのですが、宇宙の端までの距離がわかっても、ほとんど実用的ではありませんので、このような表現や数字は、まず、使うこともないものでしょうね。

小さな数についても見てみましょう

日本では、1以下の数は、野球の打率などの「分・厘・毛・・・」が現在でも聞かれますが、それ以下はほとんど見かけることもありません。

分は0.1、厘は0.01、毛は0.001の単位ですが(0.1は10-1、0.01は10-2と表示します)、これらの呼び方自体もあまり使われなくなっていますから、使われる小さい数については、SI接頭辞による表示や言い方で問題なさそうです。

小さい数のSI接頭辞

日本の呼び方では、この小さい単位についても、「塵劫記」に示されていて、1627年に数学者の吉田光由という人が、中国の「算法統宗」というものを参考にまとめた中の「単位の分類(命数法)」に書かれているのが一般的になっているようですが、この本でも、新しい改定版が出版されるごとに、書いてある内容が変わっていたらしいので、この表も参考として見ておいてください。

蛇足ですが、「オングストローム」という単位を耳にします。これは、SI単位ではない「長さ」の単位で、SI単位では0.1nm(ナノメーター)です。

これは、光の波長や原子の大きさなどを言う場合に用いられますが、音の響きがいいし、かっこいい感じなのでよく使われていますが、現在は、SI単位系で言うのが標準になってきていますので、高気圧・低気圧のミリバールなどと同様に、今後は見聞きすることが少なくなってくるでしょう。

実用的な小さな数字といえば…

通常の機械的な測定器や光学顕微鏡では、1マイクロメータ(ミクロン:1/1000mm:記号μm)程度が確認できる最小長さです。

話題になっている「コロナウイルス」は100nm(0.1マイクロメータ)といわれており、1マイクロメータ以下は、電子顕微鏡でないと見えない大きさです。

最近聞くことが多くなった「ナノ」は10のマイナス9乗で、これは、コンデンサの容量では、ナノよりも小さい「ピコ」という単位が通常的に使われています。

電気容量を表す ピコファラッド(pF) というものが使われていますし、さらに、レーザー加工機の波長などで、「フェムト秒」という言葉を聞くことがあります。フェムト(f)は10の-15乗です。

究極の小さい数

そして究極の小さい単位は、現代物理学ででてくる単位に「プランク単位」というものがあります。

これを用いると、例えば、有名なE=mc2 は E=m と書けるというように、いろいろな物理法則や方程式を簡単に表せるというのですが、そこで用いる「プランク長」は、現在のSI単位系では、1.62x10-35 メートルという数字ですし、プランク時間は、光子がプランク長を通過する時間 5.4x10-44秒 というのがあります。

どうもそれが、現在で考えられる、最小の長さ単位の数字と言えるかもしれません。

これによれば、光がプランク時間で進む距離で長さを表せば、上の宇宙の直径を表すと、1061プランク長というすごい数字になって、無量大数が見えてきそうな数字が出てきます。

もちろん、物理学上では、プランク長以下のものが存在するという考えもあるようです。しかし、プランク長も宇宙の大きさも、普通人には認識できない範囲の数ですので、大きい小さいというイメージを持つ程度で十分な、知識としてはほとんど必要ないものですが、物理学の世界では、そんなところにまで考え方が及んでいることに驚きます。

以上になりますが、最後はだらだらとした内容になってしまいましたが、数の話はいかがだったでしょうか? 私もこれを書いているとかなり理解できました。その大きさを実感するには、自分で数字を書いてみるといいでしょう。どこかで何かのお役に立っていただけると幸いです。


(来歴)R1.10記事作成  R2.9誤字脱字見直し  最終R4.5に見直し・サイト変更

この記事を書いた人
きょくまめ

電気・電子や科学が好きなシニアです。
壊れた電気製品を直して嫌がられるなど、役に立つのか立たないのかわからないことをする趣味があるので、少しでも役に立ちそうなアイデアを紹介する記事を書いていこうと思っています。

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