知っていると思いますが、大きな数小さな数の雑学

小学生に「一番大きな数は?」と聞くと、私の時代は「百億万円」だった(古い!)のですが、今は「無量大数」と答える・・・という記事を読んだことがあります。

大人の私でも「無量大数」がどれくらい大きいのか、説明できないのですが、このような数の単位については、言葉は知っていても、曖昧にしか覚えていないのが普通ですので、大人の知識として、役立ちそうなものをまとめてみました。

大きな数 「位取り」で、なぜか日本人は余分な苦労をしている感じが・・・

コンピュータのメモリ容量などでは、K・M・G・T・P・E・Z・Y という表現があります。

キロ・メガ・ギガ・・・ですね。これは国際単位系(SI単位系)の接頭辞(接頭語)で、kilo mega giga tera peta exa zetta yotta を表しています。

アメリカなどは、k=1,000 M=1,000,000 G=1,000,000,000 のように、「3桁区切り」になっていますが、日本は、万=1 0000 億=1 0000 0000 兆=1 0000 0000 0000 のように、「4桁区切り」がわかりやすいようです。

今では、「読み方は日本式、書き方は西洋式」というようになっているのですが、それを不思議に思わなくなりました。

この「3桁区切り」が導入されてのは、明治6年に、西洋簿記学「帳合の法」を訳した福沢諭吉が、それまでの漢数字ではなく、アラビア数字の横書き数字では、3桁区切りが便利・・・としたことが元になって、昭和27年(1962年)に、「公用文作成の要領」で、「3桁ごとにコンマで区切る・・・」という、内閣官房長官の通達があって、それ以降、「3桁区切り」が標準になった・・・ということのようです。(NHKの「チコちゃんに叱られる」でも、これが取り上げられたようです。私は見ませんでしたが・・・)

年々大きくなっている「コンピューターの記憶容量」ですが、外国から来たものなので、1ギガ、1テラなどは、そのままでイメージするようにして、日本の数字に直して考えることはしないと思いますが、1ギガ=1000,000,000=10億 1テラ=1,000,000,000,000=1兆 になります。

書いてみると、非常に大きな数ということがわかります。

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大きな数は「10の何乗」で表すと、少しだけわかりやすい・・・?

物理の世界では、一般的には、「10の何乗」という言い方をします。 1キロメーター(km)は10の3乗(103)メーター、つまり1,000mで、次の接頭辞のメガは 10の6乗(106)で、この「6乗」は 1,000,000 と、「ゼロの数」をあらわすのですが、これを日本の数字で言おうとすると少し混乱が生じ始めるでしょう。

日本の数字表記では1キロ=1000,1メガ=100万(1,000,000)と、ここまでは、慣れもあって頭が混乱しないのですが、次からが大変で、1ギガ=10億 で、1テラ=1兆、1ペタ=1000兆、1エクサ=100京となって、4桁ずつ進んでいる日本の桁上りとは違うので、だんだん分からなくなってきます。

日本と欧米の数の桁上り

この、最後に書いた「じょ」は、のぎへん(禾)に予と書くのですが、これは、普通では文字変換できない「国字(和製漢字)」で、それらの国字も、JISでは決められているので、コード入力(&#153457)で表示させることは出来るのですが、それぞれのブラウザの状態によっては、うまく表示されていないかもしれないこともあって、「ほとんど使わない文字」だと言ってもいいのでしょう。(そのためにここでは、ひらがなにしました)

英語表記では1kiro=1thousand(サウザンド)、1mega=1million(ミリオン)、1giga=1trillion(トリリオン)というように、3ケタづつの呼び方は呼応していますから、ずれることがないので分かりやすいのですが、日本の数字は4桁区切りなので、ずれているので、日本読みに対比させようとすると、覚えにくくなってしまいますね。

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このように、欧米は103ごとに単位が変わる「文化」なので、3桁区切りでの苦労は少ないようですが、日本の文化は4ケタごとに単位が変わるので、困ってしまいますし、理解に苦労します。

私の場合は、小学校では最初に、「桁区切りは4桁区切り」で習い、6年になって「最近は3桁区切りが多くなっていて、会計では、3桁区切りになってきています」・・・と教えられたこともあって、頭の切り替えができずに困ったことを覚えています。

日本では4桁区切りがわかりやすい。でも、今、それを使うとさらに混乱しそう

1,0000,0000(=100,000,000) は一億ですが、現在は4桁区切りで書く書き方は通常はしませんし、4桁区切りの数字を見ることがありません。 しかし、下の「5つ玉(五つ珠)」のそろばんを使っている時代には、4桁区切りが普通でした。

古いそろばん 以前のそろばん(5つ玉・4桁区切り)

今のそろばん 今のそろばん(4つ玉・3桁区切り)

私自身は上の「5つ玉のそろばん」は使ったこともなく、使い方も知りませんが、明治生まれの父は、5つ玉を使っていたので、家に置いてあったのを覚えています。

昭和の戦争のあとに、日本の文化が変わってしまったようなのですが、日本人はいとも簡単に外国文化を吸収してしまう民族なので、変化に対する抵抗も少なかったようですが、4桁文化の本家本元の「中国(China)」の人は、日本人以上に苦労しているのではないかと思います。

しかし、この3桁区切りは「国際化」の一環ですので、どうすることも出来ません。ともかく、「馴染む」しか方法はないのでしょうが、私のような頭に硬い「昭和人間」と違って、最近の若い方は、気にしていないのでしょうね。

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英国でも、米国流とは若干違う・・・という問題点もあるようです

電子辞書でbillionを引くと

話は脱線しますが、「billion」を電子辞書で調べると、上のような記事が書いてあります。

billion は10億ですが、イギリス(英国)ではそれを milliard と言うようで、昔のイギリスでは、billion は10億ではなく1兆を表していて、それが次第にアメリカ式に移っている・・・と書いてあります。

アメリカでは、今まで使われてきた「ヤード・ポンド」が残っていますし、日本でも、「坪・升・合」などの単位が残っているところを見ると、どこの国でも、共通化(国際化)の過程で、いろいろな問題があったり、現在でも尾を引いているものもあるのでしょう。

大数(大きな数)の呼び方はあっても、普段は使うことはなさそう

大きな数

下段に書いてあるのは「塵劫記」という書物に書かれた、一十百千万に続く、非常に大きな数の一部です。

恒河沙(こうがしゃ)阿僧祇(あそうぎ) ・・・と、一十百千万億兆・・・のずっと後に続く大きな数ですが、これらは実際に用いられることはないものの、「数(の単位)がある」ということに驚きます。

欧米の表し方も同様で、さらにもっと上の数字の言い方があって、日本では、「塵劫記」に書かれた、最も大きな数とされている「無量大数」についても、https://id.fnshr.info/2017/08/27/large-numbers/ さんのHPを見ると、「英語では、無量大数は one hundred unvigintillion という・・・」と書いてあり、そうなると、「無量大数x無量大数=***」という数にも、英語の呼び方があるのかもしれません。 しかし、これらは、絶対に、実用面では使うことはないでしょう。(もちろん、自分勝手に単位を命名している人はいるでしょう)

すごい大きな数を実感したいなら、自分で書いてみるといい

ここで、それくらい大きいのかを感じてもらうために、SI接頭辞のyotta(ヨタ)と「無量大数」のゼロの数示していますが、これを、一度、自分で紙に書いてみると、その凄さが実感できます。

1yotta  =10000000000000000000000000

無量大数=1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

ここにある接頭語の「yotta」は1の後ろに0が24個もつく大きな数で、無量大数は1の後ろに0が68もつく数です。 いずれも、気の遠くなるような大きな数といえます。

近年では、記憶容量(バイト数)などで目にするようになった「テラバイト」ですが、これは、1,000,000,000,000バイト という、これもすごい数ですが、これは1の後ろにゼロが12個付きます。

私の息子に「初めて買ったパソコンのNECのPC8001のメモリーは、標準が16kバイトで、それを32kに増設して20万円で購入した・・・」と話すと、息子は「キロ?」という感じで呆れているのですが、当時はそれで結構遊べました。 1979年の話ですから、それが、「ギガバイトの容量はすごい」と言っていたのは数年前で、最近では、「テラ」という言葉にも、驚かなくなってきていますので、数年後には次の「ペタ」という単位を耳にするかもしれませんね。

ギガは1のあとにゼロが9個、ペタは15個ですが、そう言われても、結局のところ、頭の中が麻痺して、比較もいい加減になってしまっていますが・・・。

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つぎに、テラバイトなどに関係する2進数について少しだけ取り上げます。

2進数はコンピュータで一躍身近なものになりました

ここまでは10進数での話でしたが、コンピュータの世界では2進数が基本です。

そのために、 0,1,10,11,100・・・と増えていく世界では、2の10乗(1024)を1キロバイトとしています。 これはややこしいことですが、つまり、K(キロ)は1000ではないのですが、世の中はこれで動いていますので、不可解だと悩んでも仕方がありません。

つまり、「キロ」というのは、10進数では1000倍の接頭語ですが、2進数では習慣的に、2の10乗の1024が1キロバイトとして扱われるのです。

そうすると、1メガバイトが1,024,000バイト、1ギガバイトが1,024,000,000バイト、1テラバイトが1,024,000,000,000バイトですが、混乱を避けるために、一応は、2進数を表す「バイナリー」という用語を後ろにつけて、「キロバイナリーバイト(略してKiBまたはKibi:キビバイト)と呼ぶように定められています。

しかし、この言い方は普及していなくて、一般的には、「メガバイト」「テラバイト」などと、商品には表示されていて、その詳細については、断り書きはないのが普通ですから、現実は、メガバイトが1,024,000バイトなのか1,000,000バイトなのかも、はっきりしないものも多いようです。

いいか悪いか、ほとんどの人は、「大して違わない『大きな数』」と思って、気にすることも少ないのでしょう。

さらに加えて、ややこしいのですが、「1バイト=8ビットです・・・」などというと、ますます混乱するのですが、これらの内容も、適当なイメージで話していても、全く問題なく話ができますので、一般人レベルでは、それはそれでいいのかもしれませんね。

情報の世界で用いられる、さらに大きな数

そして、この2進数の情報関連の世界では、10進数の接頭語のyotta(10の24乗)以上の数字についても、すでに決められています。 Kibi bite(記号はKiB)が210(1024バイト)ですが、それ以上の数で、

Mebi Byte(記号Mi=220
Gibi Byte(記号Gi=230
Tebi Byte(記号Ti=240
Pebi Byte(記号Pi=250
Exbi Byte(記号Ei=260
Zebi Byte(記号Zi=270
Yobi Byte記号(Yi=280

などの呼び方は、当面は使うことが無くても、すでに決められています。 K・M・G・T・P・E・Z・Y というSI単位系の接頭辞と同じ順になっているので、違和感は少ないでしょう。

ともかく、ここで、最も大きいYobi Byteは、280=1,208,925,819,629,174,706,176バイトという、とてつもなく大きい数字です。

これはこれですごい数なのですが、「無量大数1068」から考えると、そんなに大きいように感じないのも、変な感じですが・・・。

あなたは大きな数字といえば何が思い浮かびますか

ちなみに、とてつもない「大きな数字」のイメージの筆頭では、宇宙の大きさや「光年」という単位が頭に浮かびます。

光が1年間に進む距離が「1光年」で、30万kmx60x60x24x365≒9460800000000km という距離です。この数字でも、およそ 1013km ≒ 10テラkm ≒ 10trillion という大きさのレベルです。

さらに、もっと大きい数字といえば、測定できる宇宙の果てまでの距離が「138億光年」と言う数字がありますし、さらに、半径450億光年が「観測できる宇宙」・・・とされていて、宇宙の直径はおよそ1000億光年・・・などの数字を見ることがあるのですが、これらの数字が、やはり、現実的な数字としては最大級といえます。

千億は1011 ですから、距離にすれば、1千億光年は、1024km(1030mm)という数字になって、これが現実的に頭の中で使うことがあるかもしれない「大きな数」かもしれません。

もっとも、宇宙を記述する数字は、宇宙が広がっていますし、どんどん観測も進むので、時間がたつに連れて、どんどん大きくなっていくのでしょうが、宇宙の端までの距離がわかっても、ほとんど実用的ではありませんので、このような表現や数字は、まず、使うこともないもの・・・なのでしょうね。

小さな数についても見てみましょう

日本では、1以下の数は、野球の打率などの「分・厘・毛・・・」が現在でも聞かれますが、それ以下はほとんど見かけることもありません。

分は0.1、厘は0.01、毛は0.001の単位ですが(0.1は10-1、0.01は10-2と表示します)、これらの呼び方自体もあまり使われなくなっていますから、使われる小さい数については、SI接頭辞による表示や言い方で問題なさそうです。

小さい数のSI接頭辞

日本の呼び方では、この小さい単位についても、「塵劫記」に示されています。

1627年に数学者の「吉田光由」という人が、中国の「算法統宗」というものを参考にして、それをまとめた中の「単位の分類(命数法)」に書かれているのが一般的になっているようですが、この本でも、新しい改定版が出版されるごとに、書いてある内容が変わっていたらしいので、この表も参考として見ておいてください。

蛇足ですが、「オングストローム」という単位を耳にします。これは、SI単位ではない「長さ」の単位で、SI単位で言うと、0.1nm(ナノメーター)という単位です。

これは、光の波長や原子の大きさなどを言う場合に用いられますが、音の響きがいいし、かっこいい感じなので、SI単位ではないのですが、よく使われています。

現在は、SI単位系で言うのが標準になってきていますので、高気圧・低気圧の「ミリバール」などと同様に、今後は見聞きすることが少なくなっていくでしょう。

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実用的な小さな数字といえば…

通常の機械的な測定器や光学顕微鏡では、1マイクロメータ(ミクロン:1/1000mm:記号μm)程度が確認できる最小長さです。

話題になっている「コロナウイルス」は100nm(0.1マイクロメータ)といわれており、1マイクロメータ以下は、電子顕微鏡でないと見えない大きさです。

最近聞くことが多くなった「ナノ」は10のマイナス9乗です。

コンデンサの容量では、さらに小さい、「ピコファラッド=pF」というものがあって、この「ピコ」の単位は、「ナノ」よりも小さい単位ですが、コンデンサ容量では、マイクロファラッド、ピコファラッドが通常的に使われています。

さらに、レーザー加工機の波長や時間では、「フェムト秒」という言葉を聞くことがあります。フェムト(f)は10のマイナス15乗です。

究極の小さい数

そして、究極の小さい単位には、現代物理学ででてくる単位に「プランク単位」というものがあります。

これを用いると、例えば、有名なE=mc2 は E=m と書ける・・・というように、いろいろな物理法則や方程式を簡単に表すことができる・・・というのですが、そこで用いる「プランク長」は、現在のSI単位系では、1.62x10-35 メートルという数字です。

さらに、「プランク時間」というものがあり、光子がプランク長を通過する時間  5.4x10-44秒 というものがあります。

どうもそれが、現在で考えられる、最小の長さ単位の数字と言えるかもしれません。

これによれば、光がプランク時間で進む距離で長さを表せば、上の宇宙の直径を表すと、1061プランク長というすごい数字になります。 この数字を見ると、「無量大数」が見えてきそうな数字が出てきます。

もちろん、現在の物理学では、プランク長以下のものが存在する・・・という考え(仮定)もあるようです。しかし、プランク長も宇宙の大きさも、普通人には認識できない範囲の数ですので、実用や知識には関係なさそうなものですが、物理学の世界では、そんなところにまで考え方が及んでいることに驚きます。

以上になります。 最後はだらだらとした内容になってしまいましたが、数の話はいかがだったでしょうか? 私も、これを書いてみたことで、かなり理解できました。 その数の大きさ・小ささ・・・を実感するには、自分で数字を書いてみるといいでしょう。 この雑学知識が、どこかで、何かのお役に立てば幸いです。


(来歴)R1.10記事作成  R2.9誤字脱字見直し  R4.5に見直し・サイト変更 最終R5.3見直し

この記事を書いた人
きょくまめ

電気・電子や科学が好きなシニアです。
壊れた電気製品を直して嫌がられるなど、役に立つのか立たないのかわからないことをする趣味があるので、少しでも役に立ちそうなアイデアを紹介する記事を書いていこうと思っています。

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